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证明积累
阅读量:6085 次
发布时间:2019-06-20

本文共 2525 字,大约阅读时间需要 8 分钟。

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前言

此处为在下平时代数的公式与证明方法的积累之处,便于需要之时快速查询,以及方便各位高人。

正文

1.\(\sum_{i=1}^ni^2=1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

证明:

法一:构造等差数列

注意到\(n^3-(n-1)^3=n^2+(n-1)^2+n(n-1)=3n^2-3n+1\),而一次的等差数列我们又很好求,于是考虑以此等差,把\(1-i\)带入该式,并为了方便设\(S=\sum_{i=1}^ni^2=1^2+2^2+...+n^2\),于是有:

\[1^3-0^3=3\times1^2-3\times 1+1\]

\[2^3-1^3=3\times2^2-3\times 2+1\]
\[3^3-2^3=3\times3^3-3\times 3+1\]
\[.\]
\[.\]
\[.\]
\[n^3-(n-1)^3=3\times n^3-3\times n+1\]

累加即有

\[n^3=3S-3\frac{n(n+1)}{2}+n\]

\[3S=n^3+3\frac{n(n+1)}{2}-n\]
\[S=\frac{n^3-n}{3}+\frac{n(n+1)}{2}\]
\[S=\frac{2(n^3-n)+3n(n+1)}{6}\]
\[S=\frac{2n^3+2n^2+n}{6}\]
\[S=n\frac{2n^2+2n+1}{6}\]
\[S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

故得证。

法二:几何巧妙构造代数情景

\(S=\sum_{i=1}^ni^2=1^2+2^2+...+n^2\)

1    2 2   3 3 3  4 4 4 4 . . . . .n n n n n n

已知答案即为该图形中所有数字之和,再将之分别顺时针旋转\(60^o,120^o\),有:

n    n .   n . 4  n . 4 3 n . 4 3 2n . 4 3 2 1

n    . n   4 . n  3 4 . n 2 3 4 . n1 2 3 4 . n

不难得知每个格子的对应数字之和为\(2n+1\),所以:

\[3S=(2n+1)\frac{n(n+1)}{2}\]

\[S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

故得证。

2.\(\sum_{i=1}^na^i=a^1+a^2+...+a^n=\frac{a^{n+1}-a}{a-1}\)

证明:

数列问题,考虑扩大做差,设\(S=\sum_{i=1}^na^i=a^1+a^2+...+a^n\),于是有

\[aS=a^2+a^3+...+a^{n+1}\]

两式相减,有

\[S(a-1)=a^{n+1}-a\]
\[S=\frac{a^{n+1}-a}{a-1}\]
故得证。

3. \(1^3+2^3+...+n^3=\sum_{i=1}^ni^3=(\frac{(1+n)n}{2})^2\)

证明:

法一:构造等差数列

注意到\(n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1\)

所以有

\[1^4-(1-1)^4=4\times1^3-6\times1^2+4\times1-1\]

\[2^4-(2-1)^4=4\times2^3-6\times2^2+4\times2-1\]
\[.\]
\[.\]
\[.\]
\[n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1\]

累加有

\[n^4=4\times(1+..+n^3)-n(1+n)(2n+1)+2n(1+n)-n\]

\[4\times(1+..+n^3)=n(n^3+1)+n(1+n)(2n+1)-2n(1+n)\]

\[4\times(1+..+n^3)=n(n+1)[(n^2-n+1)+(2n+1)-2]\]

\[4\times(1+..+n^3)=n^2(n+1)^2\]

\[1^3+..+n^3=(\frac{n(1+n)}{2})^2\]

法二:几何意义

设有一边长\(\frac{n(1+n)}{2}\)的正方形,把它的边长分成n块,块的长度依次\(1,2,3,...,n\),如图所示,数字为其所属块

1* 2 2 3 3 3
2 2* 2* 3 3 3
2 2* 2* 3 3 3
3 3 3 3* 3* 3*
3 3 3 3* 3* 3*
3 3 3 3* 3* 3*

对于全部标n的数字的地方,标*面积\(n^2\),其旁边的数字不难得知对于应为\(\frac{n(n-1)}{2}\times n\times 2\),所以对于标数字n而言的面积为

\[\frac{n(n-1)}{2}\times n\times 2+n^2=n^3-n^2+n^2=n^3\]

于是不难得知大正方形面积即为我们所求数列。

4. \(f_n=f_{n-1}+f_{n-2},f_1+....+f_n=\sum_{i=1}^nf_i=f_{n+2}-f_2\)

证明:

考虑数列通项公式的证明办法,构造等差,于是有\(f_n=f_{n+2}-f_{n+1}\),代入我们有

\[f_1+....+f_n=f_3-f_2+f_4-f_3+...+f_{n-2}-f_{n+1}=\]

\[f_{n+2}-f_2\]

5. \(f_n=f_{n-1}+f_{n-2},f_1+f_3+f_5+...+f_n=f_1+f_{n+1}-f_2\)

证明:

直接带入转移方程,我们有

\[f_1+f_1+f_2+f_3+f_4+...+f_{n-2}+f_{n-1}=\]

\[f_1+f_{n+1}-f_2\]

6. \(f_n=f_{n-1}+f_{n-2},f_2+f_4+...+f_n=f_{n+1}-f_2+f_0\)

证明:

\[f_0+f_1+f_2+f_3+...+f_{n-2}+f_{n-1}=f_{n+1}-f_2+f_0\]

转载于:https://www.cnblogs.com/a1b3c7d9/p/10793291.html

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